第30章 开掛不过是勉强追上天才（第2页）

?z?y=x2+6xy

“看，”她软糯地解释著，“偏导数表示在保持另一个变量不变时的变化率。全微分就是把x和y的变化综合起来。”

“所以df=（2xy+3y2）dx+（x2+6xy）dy。”

“哦……是把所有微小的变化方向加起来。”楚若然若有所悟。

“嗯。”余南汐点点头，耳边的碎发跟著晃了晃，“这是因为全微分本质上是函数在一点处的线性近似。”

“线性近似……”楚若然喃喃著，又在心里过了一遍公式，慢慢浮现出笑容，“小余老师，真厉害。”

余南汐歪歪头，翻开另一页练习册：“再做一道。”

z=ln（x2+y2），求在（1，0）处的全微分。

楚若然眯起眼，低声念著：“?z?x=2x（x2+y2），在（1，0）处是21=2……”

“?z?y呢？”

“是2y（x2+y2），在（1，0）处是0。所以全微分是——”

df=2dx+0dy=2dx。

楚若然写下答案。

“唔，答对了。”

楚若然托著下巴，目光落在她发侧脸上：“小余老师，教的很棒。”

“唔，是你厉害，能听得懂。全微分讲完接下来要讲多元函数的偏导数连续性和可微分性。”

“讲吧，我在认真听著呢。”

余南汐指著书：“偏导数存在不代表函数在那点可微，所以要看偏导数是不是连续。”

“如果函数f在点（x?，y?）的偏导数存在並且在邻域內连续，则f在（x?，y?）处可微。”

楚若然微微眯起眼：“所以连续的偏导数是可微的充分条件。”

“唔，对。”余南汐点点头，软声解释，“但不是必要条件。有些点偏导不连续也可能可微，一般通过偏导连续性来判断。”

她停了停，看了看楚若然，確认他在听。

“接下来我们要学二阶偏导数。”

她翻到下一个小节，写下公式：?2f?x2，?2f?y2，?2f?x?y

“有一个重要的定理是混合偏导的对称性。”

她轻声念著，慢慢写下：若f的二阶偏导数在点处连续，则?2f?x?y=?2f?y?x