第33章 不到一小时你就交卷？（第4页）

【已知函数f（x）=x（1-lnx）

（1）討论f（x）的单调性；

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b】

第一问函数单调性，他写下导数：令f（x）=0，即-lnx=0，解得x=1。

当0

当x>1时，lnx>0，所以f（x）

因此，f（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减。

“很简单，下一问。”

由条件blna-alnb=a-b变形可得：（lna-lnb）（a-b）=1（ab）。

设ξ介於a与b之间，由拉格朗日中值定理有：（lna-lnb）（a-b）=1ξ。

因此1ξ=1（ab），即ξ=ab。

1a+1b=（a+b）（ab），需证2

楚若然快速写下：由f（a）=f（b）及f（x）的单调性，设0

因为f（1）=1是最大值，f（e）=0，所以a在（0，1）內，b在（1，e）內。

纸上很快出现一行新的式子：令u=1a，v=1b，则u>1，v在（1e，1）內。

“要证的就是2

“整理得到u（1+lnv）=v（1+lnu）。通过分析函数性质或对称性，可证得u+v>2且u+v

楚若然长长呼出一口气，在卷子最后写下：因此，2

啪——

他放下手里的笔，检查了一遍卷子，確认没有漏题后直接站起身。

“老师，交卷。”

话音落下，教室里瞬间安静。几十双眼睛齐刷刷地抬起头，目光全盯向他。

“臥槽，这么快？”

“我才做倒第一道简答题......”

讲台上的冯宏毅原本低头看资料，听到声音愣了一下，抬头盯著楚若然：“还不到一个小时你就交卷了？”

......